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FONCTIONS.

$u=\left({\frac {\operatorname {E} }{x}}\right)^{-r}u_{0}+\left({\frac {\operatorname {E} }{y}}\right)^{r}\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}{\frac {\Delta }{x}}\left({\frac {\operatorname {E} }{x}}\right)^{-r}u.$

On trouverait absolument de la même manière

$u=\left({\frac {\operatorname {E} }{x}}\right)^{-r'}u_{0}+\left({\frac {\operatorname {E} }{y}}\right)^{r'}\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}{\frac {\Delta }{x}}\left({\frac {\operatorname {E} }{x}}\right)^{-r'}u,$

$u=\left({\frac {\operatorname {E} }{x}}\right)^{-r''}u_{0}+\left({\frac {\operatorname {E} }{y}}\right)^{r''}\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}{\frac {\Delta }{x}}\left({\frac {\operatorname {E} }{x}}\right)^{-r''}u,$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

En suivant donc la marche qui, des équations (1), nous a déjà conduit à la formule (2), nous déduirons de celles-ci

$u=\left({\frac {\operatorname {E} }{x}}\right)^{-r}u_{0}+\left({\frac {\operatorname {E} }{y}}\right)^{r}\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}{\frac {\Delta }{x}}\left({\frac {\operatorname {E} }{x}}\right)^{-(r+r')}u$

$+\left({\frac {\operatorname {E} }{y}}\right)^{r}\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}\left({\frac {\operatorname {E} }{y}}\right)^{r'}\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{2}\left({\frac {\operatorname {E} }{x}}\right)^{-(r+r'+r'')}u+\ldots \,;$

en ayant du moins égard aux propriétés commutatives des caractéristiques qu’elles renferment.

En donnant à $r,r',r'',\ldots$ des valeurs particulières, on parviendrait à une infinité de formules différentes qui, combinées entre elles, conduiraient à une infinité d’autres, dont quelques-unes se trouvent déjà dans les divers traités de calcul aux différences finies.

En général, $u$ étant toujours une fonction de $x+y,$ si l’on fait

$\bigtriangledown u=au+a_{1}{\frac {\operatorname {E} }{y}}u+a_{2}\left({\frac {\operatorname {E} }{y}}\right)^{2}u+\ldots +a_{m}\left({\frac {\operatorname {E} }{y}}\right)^{m}u,$