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QUESTIONS

$\int V\operatorname {d} x=\int {\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x=\int \operatorname {d} X=X+{\rm {Const.}}$

qui prise, en effet, entre $a$ et $g$ devient égale à $k^{2},$ comme l’exige le problème. Or, l’équation (1) est une équation différentielle ou non, qui établit entre $x$ et $y$ la relation demandée.

Le problème se réduit donc à assigner la forme de la fonction $X\,;$ or, il est aisé de voir que cette fonction satisfera généralement aux conditions auxquelles elle doit être assujettie, en posant

$X={\frac {k^{2}\operatorname {F} (x)}{\operatorname {F} (a)-\operatorname {F} (g)}}\,;\qquad$(2)

$\operatorname {F}$ désignant, une fonction tout-à-fait arbitraire, et même discontinue si l’on veut. On conclut de là, en effet,

$A={\frac {k^{2}\operatorname {F} (a)}{\operatorname {F} (a)-\operatorname {F} (g)}},\qquad G={\frac {k^{2}\operatorname {F} (g)}{\operatorname {F} (a)-\operatorname {F} (g)}},$

d’où

$A-G=k^{2},$

ainsi qu’il était demandé.

On aura donc ainsi

$V={\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} x}}={\frac {k^{2}\operatorname {F} '(x)}{\operatorname {F} (a)-\operatorname {F} (g)}}\,;\qquad$(3)

$\operatorname {F} '$ désignant, suivant l’usage, la dérivée de $\operatorname {F} \,;$ il ne s’agira donc que d’intégrer cette dernière, si toutefois elle est différentielle, pour obtenir la relation cherchée.

Pour appliquer présentement ces principes à la résolution de la question proposée, soient $(a,b),\ (g,h)$ les deux points donnés, par lesquels doit passer la courbe cherchée, et soit $k^{2}$ le quarré auquel doit être équivalent l’espace compris entre cette courbe, les