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ET DES SURFACES COURBES.

il faudra donc exprimer à la fois que le point $(t',u',v')$ est sur ce plan, et qu’il est à une distance $k$ du premier ; ce qui donnera les deux équations

$(t'-x'){\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} z'}}+(u'-y'){\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} z'}}+(v'-z')=0,$

$(t'-x')^{2}+(u'-y')^{2}+(v'-z')^{2}=k^{2}\,;$

ou, en supprimant les accens désormais inutiles,

${\begin{aligned}(t-x){\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}+(u-y){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}+(v-z)=0,&\qquad \qquad &(1)\\\\(t-x)^{2}+(u-y)^{2}+(v-z)^{2}=k^{2},&\qquad \qquad &(2)\end{aligned}}$

équations qui résolvent le problème.

La courbe donnée étant, en effet, exprimée par deux équations en $x,y,z,$ on tirera de ces deux équations, par la différentiation, les valeurs de ${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}},\ {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}},$ pour les mettre dans l’équation (1) ; en joignant l’équation résultante à l’équation (2) et aux deux équations de la courbe proposée, on se trouvera avoir en tout quatre équations entre lesquelles éliminant $x,y,z,$ l’équation résultante en $t,u,v$ sera celle de la surface cherchée.

Pour premier exemple de l’application de cette méthode, supposons que la ligne donnée soit une droite exprimée par la double équation

${\frac {x}{a}}={\frac {y}{b}}={\frac {z}{c}}\,;$

nous aurons, par différentiation,