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RÉSOLUES.

$mn-m'n'=\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Tang} .\beta \operatorname {Tang} .\alpha '\operatorname {Tang} .\beta '$

$={\frac {\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Cos} .\alpha '\operatorname {Cos} .\beta '-\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Sin} .\alpha '\operatorname {Sin} .\beta '}{\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\alpha '\operatorname {Cos} .\beta '}}$

${\begin{array}{cll}m+n&=\operatorname {Tang} .\alpha +\operatorname {Tang} .\beta &={\frac {\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )}{\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta }},\\m'+n'&=\operatorname {Tang} .\alpha '+\operatorname {Tang} .\beta '&={\frac {\operatorname {Sin} .(\alpha '+\beta ')}{\operatorname {Cos} .\alpha '\operatorname {Cos} .\beta '}},\\1+mn&=1+\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Tang} .\beta &={\frac {\operatorname {Cos} .(\alpha -\beta )}{\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta }},\\1+m'n'&=1+\operatorname {Tang} .\alpha '\operatorname {Tang} .\beta '&={\frac {\operatorname {Cos} .(\alpha '-\beta ')}{\operatorname {Cos} .\alpha '\operatorname {Cos} .\beta '}}\,;\end{array}}$

il viendra donc, en substituant,

$\operatorname {Tang} .2z={\frac {2\left(\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Cos} .\alpha '\operatorname {Cos} .\beta '-\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Sin} .\alpha '\operatorname {Sin} .\beta '\right)}{\operatorname {Cos} .(\alpha -\beta )\operatorname {Sin} .(\alpha '+\beta ')-\operatorname {Cos} .(\alpha '-\beta ')\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )}}\,;$

formule que l’on pourra encore écrire ainsi

$\operatorname {Tang} .2z={\frac {\operatorname {Cos} .(\alpha '+\beta ')\operatorname {Cos} .(\alpha -\beta )-\operatorname {Cos} .(\alpha +\beta )\operatorname {Cos} .(\alpha '-\beta ')}{\operatorname {Sin} .(\alpha '+\beta ')\operatorname {Cos} .(\alpha -\beta )-\operatorname {Sin} .(\alpha +\beta )\operatorname {Cos} .(\alpha '-\beta ')}}.$

L’angle $z$, que fait l’un des diamètres principaux avec notre droite indéfinie, étant connu par cette formule, le rapport de grandeur ${\frac {y}{x}}$ des deux diamètres principaux sera donné par l’une ou l’autre des équations (1), d’où l’on tire

${\frac {y}{x}}={\sqrt {-\operatorname {Tang} .(z+\alpha )\operatorname {Tang} .(z+\beta )}}={\sqrt {-\operatorname {Tang} .(z+\alpha ')\operatorname {Tang} .(z+\beta ')}}.$

Tout ce qui précède s’applique au surplus littéralement à l’hyperbole, pourvu que, dans les dernières formules, on change le signe $-$ en $+$ sous les radicaux.