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QUESTIONS
Addition à la solution insérée à la page 285 de ce volume ;
M. Tédenat, ancien recteur, correspondant
de l’académie royale des sciences.
de l’académie royale des sciences.
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Le problème qu’il s’agissait de résoudre en cet endroit était le suivant : Quelle est l’équation la plus générale des courbes qui jouissent de cette propriété que si, par chacun de leurs points, on leur mène une normale, terminée à l’axe des abscisses, cette normale a même longueur que l’ordonnée qui a son pied au même point de cet axe ?
Nous avons prouvé, en l’endroit cité, que l’équation générale de ces courbes avait pour équation
(1)
pourvu que la fonction fût de nature à satisfaire à l’équation
(2)
![{\displaystyle 2\phi (x)+\left[\phi '(x)\right]^{2}=2\phi \left[x+\phi '(x)\right],\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c49e81628ebfd7811f62f7e7e0215df4c37d061)
où désigne, comme à l’ordinaire, la fonction dérivée de
En différentiant cette dernière, il vient
![{\displaystyle 2\phi '(x)+2\phi '(x)\phi ''(x)=2\left[1+\phi ''(x)\right]\phi '\left[x+\phi '(x)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc8619e91dc733a6f64b6a12b7f54513ef1154aa)
ou, en transposant et décomposant,
![{\displaystyle \left[1+\phi ''(x)\right]\left\{\phi '(x)-\phi '\left[x+\phi '(x)\right]\right\}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e9b3ad26a8ccace8f20656446c86803ed06a84c)
équation qui se décompose en ces deux-ci :
