![{\displaystyle {\begin{array}{lr}\phi ''(x)=-1,&(3)\\\phi '(x)=\phi '\left[x+\phi '(x)\right],&(4)\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66ad2abcb5a6a28e8c445b240b2efdb27edf983f)
L’équation (3) donne, en intégrant,
ce qui donne, pour l’équation de la courbe cherchée,
équation d’un cercle d’un rayon quelconque, ayant son centre en l’un quelconque des points de l’axe des
Quant à l’équation (4), elle donne évidemment d’où
ce qui donne, pour l’équation de la courbe cherchée,
équation de deux parallèles à l’axe des également distantes de part et d’autre de cet axe.
Nous avions déjà prouvé, à posteriori, que ce cercle et ces parallèles, qui d’ailleurs résolvent évidemment le problème, satisfaisaient aux équations (1, 2) ; mais nous n’avions pas su alors en déduire directement les équations de ces deux lignes.
La question serait présentement de savoir si une équation de la forme
![{\displaystyle \psi (x)=\psi \left[x+\psi (x)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b400724e76443dbbe0b446d593a6fa9031a9707c)
peut admettre d’autres solutions que la solution et, au cas qu’elle en admît d’autres, quelles pourraient être ces solutions ? mais c’est une question que nous livrons à la sagacité du lecteur.
