58
MOUVEMENS
En égalant à zéro la différentielle de
prise par rapport à
on aura
![{\displaystyle C'R^{2}-(C'+c')Rr\operatorname {\operatorname {Cos} } .(C'-c')t+c'r^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6870cbcf8c9b86d887e0169bf9a3578ec2cdf699)
d’où
![{\displaystyle t={\frac {1}{C'-c'}}\operatorname {Arc} .\left\{\operatorname {Cos} .={\frac {C'R^{2}+c'r^{2}}{(C'+c')Rr}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/772566e6dc99d25b63e08e51b549127949d5411d)
formule qui servira à calculer les époques des plus grandes élongations pour les planètes inférieures et celles des rétrogradations pour les planètes supérieures.
Soient
les durées respectives des révolutions sydérales, on devra avoir
![{\displaystyle C'(t+S)-C't=2\varpi ,\qquad c'(t+s)-c't=2\varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3448a3bdea38a8f159d2df0865acbabdf328486f)
d’où
![{\displaystyle C'={\frac {2\varpi }{S}},\qquad c'={\frac {2\varpi }{s}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0628a637fef4db6065f3c7d23bc37acc89bcbf59)
alors les époques des oppositions et conjonctions pourront se calculer par les formules
![{\displaystyle t=-{\frac {(2n+1)Ss}{2(S-s)}},\qquad t=-{\frac {nSs}{S-s}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d133c687fd0057e3dafd59273f227c1f3b5c92e9)
de sorte que l’intervalle de temps entre deux conjonctions ou oppositions consécutives sera
![{\displaystyle \tau ={\frac {Ss}{S-s}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88f2d88892e7e51f81430475ff4f2053afef2790)
enfin les époques des plus grandes élongations ou rétrogradations se calculeront par la formule
![{\displaystyle t=-{\frac {S-s}{2\varpi }}\operatorname {Arc} .\left\{\operatorname {Cos} .={\frac {sR^{2}+Sr^{2}}{(S+s)Rr}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb17d882eff4c821dd2d7786e2e80e958917a6b0)
mais, d’après la troisième loi de Kepler,