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ÉQUATIONS

${\begin{aligned}&\psi ^{2}\left({\frac {2-x}{1-x}}\right)=\psi \left(-{\frac {2(1-x)}{x}}\right)={\frac {2}{2+{\frac {2(1-x)}{x}}}}=x,\\\\&\psi ^{3}\left({\frac {2-x}{1-x}}\right)=\psi (x)={\frac {2}{2-x}},\\\\&\psi ^{4}\left({\frac {2-x}{1-x}}\right)=\psi \left({\frac {2}{2-x}}\right)={\frac {2}{2-{\frac {2}{2-x}}}}={\frac {2-x}{1-x}}.\end{aligned}}$

Il ne faut pas aller plus loin pour apercevoir que la fonction est périodique, et qu’on doit avoir conséquemment $\psi ^{5}(t)=\psi (t),\ \psi ^{6}(t)=\psi ^{2}(t)\,;$ et ainsi de suite, et en général $\psi ^{4n+r}(t)=\psi ^{r}(t).$ Mais puisque les résultats du premier exemple sont $a^{x},a^{a^{x}},a^{a^{a^{x}}},\ldots$ qui, quelque loin qu’on les pousse, ne peuvent jamais conduire à $x,$ il faut en conclure que la périodicité est un caractère particulier à certaines fonctions ; ou, ce qui revient au même, que les fonctions ne sont pas toutes périodiques.

Nous disons donc qu’une fonction $\psi$ est périodique lorsqu’elle est de telle forme que l’on a $\psi ^{n}(t)=t,\ n$ étant un nombre entier positif ; et si, de plus, aucune des fonctions $\psi (t),\psi ^{2}(t),\psi ^{3}(t)$ d’ordres inférieurs à $n$ n’est égale à $t,$ nous dirons que la fonction $\psi$ est périodique du $n.$^me ordre.

Puis donc que, généralement parlant, les fonctions ne sont pas toutes périodiques, on peut se proposer de trouver, pour chaque ordre, les fonctions qui sont périodiques. Nous introduirons à la solution générale de ce problème par la considération de quelques cas particuliers.

I. Une fonction périodique du premier ordre serait celle qui satisferait à la condition $\psi x=x\,;$ cette fonction serait donc la quantité sous le signe fonctionnel elle-même.

II. Une fonction périodique du second ordre est celle qui sa-