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FONCTIONNELLES.

tisfait à la condition $\psi ^{2}x=x,$ de laquelle il s’agit de déduire la forme générale de la fonction $\psi .$ M. Babbage y parvient par diverses sortes de considérations.

1.^o Il remarque, en premier lieu, que l’équation $\psi ^{2}x=x,$ donne $\psi x=\psi ^{-1}x,\ \psi ^{-1}$ désignant la fonction inverse de $\psi \,;$ d’où il suit qu’en posant $\psi x=y,$ on aura $y=\psi ^{-1}x$ ou $x=\psi y\,;$ c’est-à-dire que la valeur de $x$ en $y$ doit être absolument de même forme que la valeur de $y$ en $x\,;$ ce qui ne peut avoir lieu qu’autant que $x$ et $y,$ c’est-à-dire $x$ et $\psi x$ seront liés par une équation symétrique par rapport à ces quantités ; et ce qui aura toujours lieu dans ce cas ; c’est-à-dire que $\psi x$ devra être donnée en $x$ par une équation quelconque de la forme

$\operatorname {F} \left[{\overline {x}},{\overline {\psi (x)}}\right]=0.$

M. Babbage emploie les barres au-dessus de $x$ et $\psi (x),$ pour avertir que la fonction désignée par $\operatorname {F}$ doit être symétrique par rapport à ces deux quantités. Ainsi, pour ne s’arrêter qu’aux cas les plus simples, on peut prendre

$x+\psi (x)=a,\quad$ou$\quad x.\psi (x)=a^{2}\,;$

il en résultera

$\psi (x)=a-x,\quad$ou$\quad \psi (x)={\frac {a^{2}}{x}}\,;$

on aura en effet, dans le premier cas,

$\psi ^{2}(x)=\psi (x-a)=a-(a-x)=x,$

et dans le second

$\psi ^{2}(x)=\psi \left({\frac {a^{2}}{x}}\right)={\frac {a^{2}}{\frac {a^{2}}{x}}}=x.$