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ÉQUATIONS

2.^o Mais le procédé que voici est beaucoup plus général ; et peut d’ailleurs s’étendre à la recherche d’une fonction périodique d’un ordre quelconque. Soit désignée par $\operatorname {f}$ une fonction particulière qui résout le problème, de telle sorte qu’on ait $\operatorname {f} ^{2}(t)=t.$ Soit en outre $\phi$ une fonction tout-à-fait arbitraire ; et soit $\phi ^{-1}$ son inverse, de telle sorte qu’on ait $\phi ^{-1}\phi (v)=\phi \phi ^{-1}(v)=v\,;$ la fonction périodique cherchée du second ordre sera

$\psi (x)=\phi ^{-1}\operatorname {f} \phi (x).$

On aura, en effet,

$\psi ^{2}(x)=\psi \left[\phi ^{-1}\operatorname {f} \phi (x)\right]=\phi ^{-1}\operatorname {f} \phi \left[\phi ^{-1}\operatorname {f} \phi (x)\right]=\phi ^{-1}\operatorname {f} \phi \phi ^{-1}\left[\operatorname {f} \phi (x)\right]\,;$

mais

$\phi \phi ^{-1}\left[\operatorname {f} \phi (x)\right]=\operatorname {f} \phi (x)\,;$

donc

$\psi ^{2}(x)=\phi ^{-1}\operatorname {ff} \phi (x)=\phi ^{-1}\operatorname {f} ^{2}\phi (x)\,;$

mais

$\operatorname {f} ^{2}\phi (x)=\phi (x)\,;$

donc finalement

$\psi ^{2}(x)=\phi ^{-1}\phi (x)=x,$

ainsi qu’il était demandé.

Soient pris, par exemple, $\operatorname {f} (x)=a^{m}-x,$ que nous savons être une solution particulière ; soit pris de plus $\phi (x)=x^{m},$ d’où $x^{-1}x={\sqrt[{m}]{x}},$ nous aurons ainsi

$\psi (x)=\phi ^{-1}\operatorname {f} \phi (x)={\sqrt[{m}]{a^{m}-x^{m}}}\,;$

et, en effet, on aura

$\psi ^{2}(x)=\psi \left[{\sqrt[{m}]{a^{m}-x^{m}}}\right]={\sqrt[{m}]{a^{m}-\left(a^{m}-x^{m}\right)}}={\sqrt[{m}]{x^{m}}}=x.$

Pour avoir une forme un peu générale de la fonction $\operatorname {f} ,$ posons