Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1821-1822, Tome 12.djvu/95

91

FONCTIONNELLES.

${\frac {\psi x}{\psi x-x}}=\psi _{1}x\,;$

en changeant $x$ en $1-x,$ nous aurons pareillement

${\frac {\psi (1-x)}{\psi (1-x)-(1-x)}}=\psi _{1}(1-x)\,;$

au moyen de quoi la proposée deviendra

$\psi _{1}x+x\psi _{1}(1-x)=1.$

Pour résoudre celle-ci, changeons $x$ en $(1-x),$ elle deviendra

$\psi _{1}(1-x)+(1-x)\psi _{1}x=1\,;$

et en éliminant] $\psi _{1}(1-x)$ entre l’une et l’autre, nous aurons

$\psi _{1}x={\frac {1-x}{1-x+x^{2}}}\,;$

nous aurons donc aussi

${\frac {\psi x}{\psi x-x}}={\frac {1-x}{1-x+x^{2}}},$

d’où nous tirerons

$\psi x={\frac {x-1}{x}}.$

II. Soit, en général, une équation de la forme

$\operatorname {F} \left\{x,\psi (x),\psi (\operatorname {f} x),\psi (\operatorname {f} ^{2}x)\right\}=0,$

où $\psi$ représente toujours une fonction dont la forme est inconnue ;