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ÉQUATIONS

et dans laquelle $\operatorname {f}$ désigne une fonction périodique déterminée du troisième ordre, c’est-à-dire, telle que $\operatorname {f} ^{3}x=x.$ En changeant $x$ en $\operatorname {f} x,$ cette équation deviendra

$\operatorname {F} \left\{\operatorname {f} x,\psi (\operatorname {f} x),\psi (\operatorname {f} ^{2}x),\psi (x)\right\}=0\,;$

faisant encore la même transformation, nous aurons

$\operatorname {F} \left\{\operatorname {f} ^{2}x,\psi (\operatorname {f} ^{2}x),\psi (x),\psi (\operatorname {f} x)\right\}=0\,;$

éliminant enfin $\psi (\operatorname {f} x)$ et $\psi (\operatorname {f} ^{2}x),$ entre ces trois équations, l’équation résultante nous donnera la valeur de $\psi (x).$

L’équation du problème de géométrie que nous avons traité au commencement de cet article, offrant déjà un exemple de ce cas, nous nous bornerons à en offrir ici un second. Soit l’équation

$\psi x+a\psi \left({\frac {1}{1-x}}\right)={\frac {1}{x}},$

où ${\frac {1}{1-x}}$ est une fonction périodique du troisième ordre ; en changeant $x$ en ${\frac {1}{1-x}},$ il viendra

$\psi \left({\frac {1}{1-x}}\right)+a\psi \left({\frac {x-1}{x}}\right)=1-x\,;$

faisant encore le même changement dans cette dernière, on aura

$\psi \left({\frac {x-1}{x}}\right)+a\psi x={\frac {x}{x-1}}\,;$

éliminant enfin $\psi \left({\frac {1}{1-x}}\right)$ et $\psi \left({\frac {x-1}{x}}\right)$ entre ces trois équations, nous tirerons de l’équation résultante