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DES PUISSANCES DES COSINUS.

sur les observations de M. Deflers, d’après lesquelles il paraîtrait que la fonction $X'$ est toujours nulle, quel que soit l’exposant de $2\operatorname {Cos} .x.$ Son procédé se réduit au fond à démontrer que l’équation

$0=n+{\frac {n}{1}}(n-2)+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}(n-4)+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}(n-6)+\ldots$

est identique. Mais, si l’on fait attention que les deux premiers termes du second membre se réduisent à $n.{\frac {n-1}{1}},$ que les trois premiers donnent, pour leur somme $n.{\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-2}{2}},$ et ainsi de suite ; on se convaincra aisément que le second membre n’est autre chose que le produit des facteurs, en nombre infini,

$n.{\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-2}{2}}.{\frac {n-3}{3}}.{\frac {n-4}{4}}\ldots \,;$

or, ce produit ne peut être nul que pour des valeurs entières et positives de $n\,;$ d’où il paraît résulter que la démonstration de M. Deflers, bien que fort ingénieuse, n’est pourtant point exacte.

Pour découvrir en quoi cette démonstration est fautive, observons qu’en posant l’équation

$T=nt^{n}+{\frac {n}{1}}(n-2)t^{n-2}+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}(n-4)t^{n-4}+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}(n-6)t^{n-6}+\ldots$

M. Deflers remarque que le second membre pouvant être égal à

$t.{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} t}}\left\{t^{n}+{\frac {n}{1}}t^{n-2}+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}t^{n-4}+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}t^{n-6}+\ldots \right\},$

et que la série entre les parenthèses étant le développement de $\left(t+t^{-1}\right)^{n},$ on peut écrire