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RÉSOLUES.

$e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .x)=$

$1+{\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .4x}{1.2.3.4}}+\ldots$

a cela de très-remarquable qu’elle renferme, comme cas particuliers, les développemens, tant des exponentiels que des fonctions circulaires. Si, en effet, on y fait successivement $x=0$ et $x={\frac {1}{2}}\varpi ,$ on trouve

${\begin{aligned}&e^{a}=1+{\frac {a}{1}}+{\frac {a^{2}}{1.2}}+{\frac {a^{3}}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots ,\\\\&\operatorname {Cos} .a=1-{\frac {a^{2}}{1.2}}+{\frac {a^{4}}{1.2.3.4}}-{\frac {a^{6}}{1.2.3\ldots 6}}+\ldots \,;\end{aligned}}$

la formule

$e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Sin} .(a\operatorname {Sin} .x)=$

${\frac {a\operatorname {Sin} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .3x}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Sin} .4x}{1.2.3.4}}+\ldots$

donnera pareillement, en faisant $x={\frac {1}{2}}\varpi ,$

$\operatorname {Sin} .a={\frac {a}{1}}-{\frac {a^{3}}{1.2.3}}+{\frac {a^{5}}{1.2.3.4.5}}-{\frac {a^{7}}{1.2.3\ldots 7}}+\ldots$

M. Stein remarque, à son tour, que, connaissant la série proposée, on en peut déduire les sommes d’autres séries également remarquables. En y changeant, par exemple, $x$ en $2x,$ il vient

$e^{a\operatorname {Cos} .2x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .2x)=$

$1+{\frac {a\operatorname {Cos} .2x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .4x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .6x}{1.2.3}}+\ldots \,;$

or, le terme général ${\frac {a^{n}\operatorname {Cos} .2nx}{1.2.3\ldots n}}$ de cette nouvelle série peut également être mis sous les deux formes