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RÉSOLUES.

dont le terme général est ${\frac {a^{n}\operatorname {Sin} .nx}{n}}.$ Le résultat serait compliqué d’imaginaires qu’on ne pourrait faire disparaître que par des moyens peu directs ; et on trouverait finalement pour la somme cherchée

$\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {a\operatorname {Sin} .x}{1-a\operatorname {Cos} .x}}\right)\,;$

aussi la série proposée n’est-elle autre chose que la valeur que l’on tire pour $y$ de l’équation

$\operatorname {Tang} .y={\frac {a\operatorname {Sin} .x}{1-a\operatorname {Cos} .x}},$

très-usitée en géodésie.

M. Querret tire de sa méthode générale plusieurs autres sommations. Posant, par exemple, $\operatorname {f} (x)=\operatorname {Log} .(1+a)$ ou

$\operatorname {f} (a)={\frac {a}{1}}-{\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {a^{3}}{3}}-{\frac {a^{4}}{4}}+{\frac {a^{5}}{5}}-\ldots$

il en conclut que la somme de la série

${\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}-{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2x}{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{3}}-{\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .4x}{4}}+\ldots$

doit être

${\frac {\operatorname {Log} .\left[1+a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]+\operatorname {Log} .\left[1+a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]}{2}}.$

ou encore

${\frac {\operatorname {Log} .\left(1+2a\operatorname {Cos} .x+a^{2}\right)}{2}}\,;$

de sorte qu’on a