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INTÉGRALES
équation étant une dérivée exacte, quelle que soit
tandis que cette première ligne, considérée comme telle, aurait une fonction primitive qui changerait avec
il s’ensuit que cette équation ne saurait subsister qu’autant que la première ligne de son premier membre sera nulle d’elle-même ; ce qui donne, en divisant par l’arbitraire ![{\displaystyle Y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3765557b7effa1a5f2f4dce9c80a25973b7009f)
![{\displaystyle 0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}\right)-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)''-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)'''+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/052c667f1ae5a1e87315e951c5ac825df46f3114)
(III)
équation en
et
seulement, qui est conséquemment l’équation différentielle de la courbe cherchée. Son intégration donnera la valeur de
en fonction de
et d’un certain nombre de constantes arbitraires, et nous allons voir tout à l’heure comment ces constantes doivent être déterminées.
8. En supprimant donc la première ligne du premier membre de l’équation (II), et passant ensuite aux fonctions primitives, il viendra
![{\displaystyle Const.=\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)''-\ldots \right]Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed2d9c65bfb12951ea2b4cfbe9c0c4cbdbd71e19)
![{\displaystyle +\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)'+\ldots \right]Y'+\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)-\ldots \right]Y''+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a91a007975b2b9e1781e8a198db18597e9dc6e8)
(IV)
En mettant dans cette équation pour
sa valeur en
et en constantes, déduite de l’équation (III), les coefficiens de
n’y seront plus que des fonctions de
et de ces mêmes constantes.
9. Soient
et
les limites de l’intégrale ; c’est-à-dire, supposons qu’il soit question de rendre maximum ou minimum l’intégrale
prise depuis
jusqu’à
marquons respectivement des indices
les valeurs des diverses quantités qui entrent dans l’équation (IV), lorsqu’on y met pour
les valeurs respectives
nous aurons ainsi