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INTÉGRALES

équation étant une dérivée exacte, quelle que soit $Y\,;$ tandis que cette première ligne, considérée comme telle, aurait une fonction primitive qui changerait avec $Y,$ il s’ensuit que cette équation ne saurait subsister qu’autant que la première ligne de son premier membre sera nulle d’elle-même ; ce qui donne, en divisant par l’arbitraire $Y,$

$0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}\right)-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)''-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)'''+\ldots$ (III)

équation en $x$ et $y$ seulement, qui est conséquemment l’équation différentielle de la courbe cherchée. Son intégration donnera la valeur de $y$ en fonction de $x$ et d’un certain nombre de constantes arbitraires, et nous allons voir tout à l’heure comment ces constantes doivent être déterminées.

8. En supprimant donc la première ligne du premier membre de l’équation (II), et passant ensuite aux fonctions primitives, il viendra

$Const.=\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)''-\ldots \right]Y$

$+\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)'+\ldots \right]Y'+\left[\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)-\ldots \right]Y''+\ldots$ (IV)

En mettant dans cette équation pour $y$ sa valeur en $x$ et en constantes, déduite de l’équation (III), les coefficiens de $Y,Y',Y'',\ldots$ n’y seront plus que des fonctions de $x$ et de ces mêmes constantes.

9. Soient $a_{0}$ et $a_{1}$ les limites de l’intégrale ; c’est-à-dire, supposons qu’il soit question de rendre maximum ou minimum l’intégrale $\int V\operatorname {d} x,$ prise depuis $x=a_{0}$ jusqu’à $x=a_{1}\,;$ marquons respectivement des indices $0,1,$ les valeurs des diverses quantités qui entrent dans l’équation (IV), lorsqu’on y met pour $x$ les valeurs respectives $a_{0},a_{1},$ nous aurons ainsi