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RÉSOLUES.

est égal à un de ses côtés divisé par le double du sinus de l’angle opposé ; ce que l’on peut d’ailleurs démontrer directement d’une manière fort simple.

Cela posé, si l’on désigne par $R$ et $R',$ respectivement les rayons des cercles circonscrits aux triangles $\mathrm {ABC}$ et $\mathrm {A'B'C'} ,$ on aura

$\mathrm {AB} =2R\operatorname {Sin} .C,\qquad \mathrm {A'B'} =2R'\operatorname {Sin} .C'.$

Mais, si l’on circonscrit au triangle $\mathrm {A'AB'}$ un cercle, dont le rayon sera ${\frac {1}{2}}\mathrm {A'B'} ,$ ce cercle se trouvera aussi circonscrit au triangle $\mathrm {AB'B} \,;$ de sorte que son rayon pourra également être exprimé par ${\frac {\mathrm {AB} }{2\operatorname {Sin} .\mathrm {AB'B} }}\,;$ AB d’où il suit que

$\mathrm {AB=A'B'} \operatorname {Sin} .\mathrm {AB'B} \,;$

mettant donc dans cette dernière équation pour $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {A'B'}$ les valeurs trouvées ci-dessus, elle deviendra

$R'\operatorname {Sin} .C'\operatorname {Sin} .AB'B=R\operatorname {Sin} .C.$

Or, parce que le quadrilatère $\mathrm {OAB'C}$ est inscriptible au cercle, l’angle $\mathrm {AB'O}$ ou $\mathrm {AB'B}$ doit être égal à $\mathrm {ACO}$ ou $\mathrm {ACC'}$ ou moitié de l’angle $\mathrm {C} \,;$ au moyen de quoi la dernière équation ci-dessus devient

$R'\operatorname {Sin} .C'\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}C=R\operatorname {Sin} .C=2R\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}C\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}C\,;$

ce qui donne, en réduisant,

$R'\operatorname {Sin} .C'=2R\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}C.$

Présentement, de même qu’on a $\operatorname {Ang} .\mathrm {C'B'B={\frac {1}{2}}\mathrm {C} } ,$ on doit avoir pareillement

$\operatorname {Ang} .\mathrm {B'C'C={\frac {1}{2}}\mathrm {B} } ,\qquad \operatorname {Ang} .\mathrm {A'C'C={\frac {1}{2}}A} \,;$

d’où, en ajoutant,

$\mathrm {C'={\frac {1}{2}}(A+B)={\frac {1}{2}}\varpi -{\frac {1}{2}}C} \,;$

donc

$\operatorname {Sin} .\mathrm {C'=\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}C} \,;$

donc finalement

$R'=2R\,;$

ce qui complète la démonstration du théorème.