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DU CHIEN.

$x{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}n{\sqrt {1+p^{2}}}\,;$

c’est-à-dire,

${\frac {\operatorname {d} p}{\sqrt {1+p^{2}}}}=n{\frac {\operatorname {d} x}{x}}\,;$

équation séparée dont l’intégrale est

$\operatorname {Log} .\left(p+{\sqrt {1+p^{2}}}\right)=n\operatorname {Log} .A+n\operatorname {Log} .x=n\operatorname {Log} .Ax=\operatorname {Log} .(Ax)^{n},$

d’où

$A={\frac {1}{x}}\left\{p+{\sqrt {1+p^{2}}}\right\}^{\frac {1}{n}}\,;\qquad$(7)

$A$ étant la constante arbitraire.

Employons cette constante à fixer la position de l’origine, sur laquelle nous n’avons pas encore statué, en la prenant de la manière la plus propre à simplifier la forme de l’équation primitive. Remarquons pour cela que, les résultats auxquels nous sommes parvenus jusqu’ici étant absolument indépendans du temps, il nous est permis de ne pas considérer de point de départ, c’est-à-dire, de supposer que le maître et son chien marchent depuis quel temps on voudra ; d’après quoi on peut concevoir une époque où la tangente menée à la trajectoire par le point de cette trajectoire où le chien se trouvait alors était perpendiculaire à la droite indéfinie décrite par son maître, c’est-à-dire, à l’axe des $y\,;$ et où conséquemment le maître se trouvait au pied de cette perpendiculaire, c’est-à-dire, à l’origine. Prenons donc cette tangente pour axe des $x,$ et supposons qu’alors la distance du chien à son maître est $a\,;$ cela reviendra à admettre que, tandis que le maître part de l’origine pour parcourir l’axe des $y,$ dans le sens des $y$ positives, son chien part d’un point de l’axe des $x$ distant de cette origine