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INTÉGRALES
lesquelles seront généralement en même nombre que les constantes introduites, et serviront à en assigner les valeurs.
11. Mais si, au contraire, on exige qu’à l’une ou à l’autre limites, ou à toutes les deux, il existe, entre
et ses divers coefficiens différentiels, une ou plusieurs relations données ;
toujours indéterminée, ne sera plus dès-lors tout-à-fait arbitraire. Représentons, en effet, une de ces équations par
![{\displaystyle \operatorname {f} (y,y',y'',\ldots )=L=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6c86f36adb19b827ce0757b49ce20368c391494)
(VII)
on devra avoir, pour les diverses courbes que l’on considère,
![{\displaystyle \operatorname {f} (y+iY,y'+iY',y''+iY'',\ldots )=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/371487453ecd355b292abe6f9bd4f0cf5129eb07)
ou, en développant,
![{\displaystyle L+\left\{\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)Y+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y'}}\right)Y'+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y''}}\right)Y''+\ldots \right\}{\frac {i}{1}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24572553d94d15a9a53040a2eba2176e5b8e6ec2)
d’où en retranchant l’équation (VII) et exprimant que l’équation résultante a lieu quel que soit ![{\displaystyle i,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d0f7dadba3056fa3c06a6bee5c0b4182471152)
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)Y+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y'}}\right)Y'+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y''}}\right)Y''+\ldots =0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d415266067ab2fd56a67c977f812058ac50751a)
(VIII)
Il faudra d’abord substituer dans (VII, VIII) pour
sa valeur en
et en constantes, déduite de l’équation (III) ; puis, en supposant, par exemple, qu’il s’agit de la première limite, mettre pour
sa valeur
ce qui changera ces équations en celles-ci :
![{\displaystyle L_{0}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62462873e0a156207605cf16e917b04d949fe362)
(IX)
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{0}Y_{0}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y'}}\right)_{0}Y'_{0}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y''}}\right)_{0}Y''_{0}+\ldots =0.\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bc269e7cbf007e0629c1d0ac9045e738d480665)
(X)
On pourra avoir plusieurs couples de semblables équations, tant