Il vient d’être démontré (22) que et étaient des lignes homologues de et et qu’il en était de même de et En prenant donc pour l’intersection de et il faudra prendre pour l’intersection de et et alors en joignant son intersection avec sera le point de contact demandé.
On voit par là qu’il y aura quatre manières différentes de prendre tandis que demeurera invariable ; on aura donc quatre droites dont chacune déterminera sur deux points de contact, entre lesquels il faudra faire un choix, d’après la manière dont et devront être touchés par
Les quatre droites, forment un parallélogramme dont la droite qui coupe aux points de contact cherchés est une diagonale. Mais si et sont respectivement, sur et les homologues de et sur les quatre droites, formeront également un parallélogramme ; et il résulte de ce qui a été dit (21) que ses côtés seront doubles de ceux du premier ; il lui sera donc semblable ; d’où il suit que, si est l’intersection de et la droite prolongée, s’il le faut, passera par On pourra donc, dans la recherche de cette droite, substituer les polaires et aux axes radicaux et de sorte que, pour la solution complète des huit cas du problème, on n’aura réellement à mener que les douze polaires de similitude des cercles pris deux à deux, et douze diagonales de parallélogrammes formés par leur rencontre.
Il me semble, Monsieur, que, pour qui aura bien compris ce qui précède, il ne sera pas difficile d’amener au même degré de simplicité l’analise du problème où il s’agit de décrire une sphère qui touche à la fois quatre sphères données ; et c’est pour cela que je me dispense de traiter ici ce problème.
Agréez, etc.
