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MÊLÉES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Concevons une ellipse qui, ayant les points $\mathrm {O}$ et $\mathrm {P}$ pour foyers, passe par le point $\mathrm {P'} \,;$ par la propriété fondamentale de cette courbe les coordonnées $x',y'$ satisferont à l’équation

${\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}+{\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}}}=\mathrm {Constante} .$

La différentielle de cette équation, prise en considérant $x',y'$ comme variables et $x,y$ comme constans, et en remplaçant respectivement $x'-x$ et $y'-y$ par $\Delta x,\Delta y$ est

${\frac {\Delta x}{\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}}+{\frac {x'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}+\left\{{\frac {\Delta y}{\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}}+{\frac {y'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}\right\}{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}=0.$

Or, par les propriétés connues de l’ellipse, les lois de la réflexion et la nature du problème, il est aisé de voir qu’au point $(x',y')$ l’ellipse dont il s’agit doit avoir un élément commun et par conséquent une tangente commune avec la courbe cherchée, de sorte que, dans l’équation ci-dessus, le coefficient différentiel ${\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}$ de l’ellipse peut être remplacé par celui de cette courbe. Désignant donc ce dernier par $p'$ et substituant, notre équation pourra mise sous la forme

${\frac {1+p'{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}{\sqrt {1+\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)^{2}}}}=-{\frac {1+p'{\frac {y'}{x'}}}{\sqrt {1+\left({\frac {y'}{x'}}\right)^{2}}}}\,;$

ce qui donne, en quarrant, chassant les dénominateurs et transposant

$\left\{1+p'{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right\}^{2}\left\{1+\left({\frac {y'}{x'}}\right)^{2}\right\}-\left\{1+p'{\frac {y'}{x'}}\right\}^{2}\left\{1+\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)^{2}\right\}=0\,;$

cette équation est évidemment satisfaite en posant