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MÊLÉES.

$p=p',\qquad p=-{\frac {1}{p'}}.$

Occupons-nous d’abord de l’équation

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {2p}{1-p^{2}}},$

dans le cas où on a $p=p'\,;$ c’est-à-dire, dans le cas où les tangentes à la courbe en $\mathrm {P}$ et $\mathrm {P'}$ sont parallèles. Soit $y=\operatorname {f} (x)$ d’où

$\Delta y=\operatorname {f} (x+\Delta x)-\operatorname {f} (x),$

et soit $\operatorname {f} '(r)$ la dérivée de $y$ ou $\operatorname {f} (x),$ de manière qu’on ait $p=\operatorname {f} '(x)\,;$ nos équations seront alors

${\frac {\operatorname {f} (x+\Delta x)-\operatorname {f} (x)}{\Delta x}}={\frac {2\operatorname {f} '(x)}{1-\left[\operatorname {f} '(x)\right]^{2}}},\qquad \operatorname {f} '(x)=\operatorname {f} '(x+\Delta x).$

La première revient

$\operatorname {f} (x+\Delta x)-\operatorname {f} (x)={\frac {2\operatorname {f} '(x).\Delta x}{1-\left[\operatorname {f} '(x)\right]^{2}}}\,;\qquad$(5)

en la différenliant, la différentielle de son premier membre sera

$\operatorname {f} '(x+\Delta x)(1+\operatorname {d} .\Delta x)-\operatorname {f} '(x)$

en y mettant pour $\operatorname {f} '(x+\Delta x)$ sa valeur $\operatorname {f} '(x),$ donnée par la seconde équation, cette différentielle se réduira à $\operatorname {f} '(x).\operatorname {d} .\Delta x\,;$ de sorte qu’où aura

$\operatorname {f} '(x).\operatorname {d} .\Delta x=\operatorname {d} .{\frac {2\operatorname {f} '(x).\Delta x}{1-\left[\operatorname {f} '(x)\right]^{2}}}.$

Cette équation différentielle entre $\operatorname {f} '(x)$ et $\Delta x$ s’intègre facilement et donne, comme on peut le vérifier par la différentiation,