Si, par l’un des sommets du triangle, on conduit un plan parallèle au plan de projection, sa projection sur ce plan sera égale à sa projection sur l’autre ; de sorte que, si la proposition est vraie pour celle-là elle le sera aussi pour celle-ci.
Mais le second plan formera avec celui du triangle un angle dièdre égal au premier, tel que l’un des sommets de ce triangle se trouvera sur son arête ; il suffit donc de démontrer le théorème pour un triangle placé dans de telles circonstances.
Ou bien un des côtés de l’angle qui a son sommet sur l’arête de l’angle dièdre se confondra avec cette arête, ou bien ils ne se confondront ni l’un ni l’autre avec elle. Dans ce dernier cas, à moins que le côté opposé au sommet dont il s’agit ne soit parallèle à celle arête, en le prolongeant, s’il est nécessaire, jusqu’à ce qu’il la rencontre, notre triangle se trouvera être la somme ou la différence de deux autres, dans lesquels un des côtés se confondra avec l’arête de l’angle dièdre ; de sorte que, si la proposition est vraie pour de tels triangles, elle le sera aussi pour le nôtre.
Dans le cas particulier où le côté opposé à l’angle dont le sommet est sur l’arête se trouve parallèle à cette arête, en conduisant par ce côté un plan parallèle au plan de projection, la projection sur ce nouveau plan sera la même que sur le premier ; il formera avec le plan du triangle un nouvel angle dièdre égal au premier, et notre triangle se trouvera encore avoir un de ses côtés sur l’arête de cet angle dièdre.
Ainsi, dans tous les cas, la question se réduit à démontrer que, lorsqu’un triangle, situé sur l’une des faces d’un angle dièdre a de plus sa base située sur son arête, l’aire de sa projection sur l’autre face est égale à l’aire du triangle, multipliée par le cosinus tabulaire de l’angle dièdre dont il s’agit.
Mais le triangle et sa projection ayant alors même base, leurs aires sont proportionnelles à leurs hauteurs, dont l’angle mesure l’angle dièdre dont il s’agit, puisqu’elles sont des perpendiculaires à son arête, menées dans ses faces par un même point de cette arête. D’un autre
