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RÉSOLUES.

${\frac {x'^{2}}{\sqrt {x'+(y'-B-gt)^{2}}}},\qquad {\frac {y'-B-gt}{\sqrt {x'^{2}+(y'-B-gt)^{2}}}}\,;$

en conséquence, les composantes de la vitesse $k$ du chien suivant cette droite, dans le sens des $x$ et des $y,$ seront respectivement

${\frac {kx'}{\sqrt {x'^{2}+(y'-B-gt)^{2}}}},\qquad {\frac {k(y'-B-gt)}{\sqrt {x'^{2}+(y'-B-gt)^{2}}}}\,;$

mais, tandis que la première de ces composantes existera seule, la seconde devra être augmentée de la vitesse $h$ que le courant imprime au chien. En considérant donc que la première de ces composantes, d’après nos conventions, tend constamment à diminuer la coordonnée $x'$ que la portion $h$ de la seconde tend à augmenter la coordonnée $y',$ et que l’autre partie de cette dernière est dans le même sens qu’elle ou en sens contraire, suivant que $B+gt$ est plus grand ou plus petit que $y'\,;$ nous aurons, par les principes connus, et en supprimant les accens désormais inutiles

${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}=-{\frac {kx}{\sqrt {x^{2}+(y-B-gt)^{2}}}},\ {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}=h-{\frac {k(y-B-gt)}{\sqrt {x^{2}+(y-B-gt)^{2}}}}.$ (2)

Telles sont donc les équations différentielles du mouvement du chien, desquelles, par conséquent, nous devrons déduire toutes les circonstances de la solution du problème.

Pour intégrer ces équations, posons

$y-B-gt=x\operatorname {Tang} .z,\qquad$(3)

l’angle $z$ étant une nouvelle variable : les équations (2) deviendront ainsi

${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}=-k\operatorname {Cos} .z,\qquad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}=h-k\operatorname {Sin} .z\,;\qquad$(4)

différentiant ensuite l’équation (3) elle deviendra