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RÉSOLUES.

$-2k\operatorname {d} t=\left\{\left({\frac {x}{a}}\right)^{n}+\left({\frac {a}{x}}\right)^{n}\right\}\operatorname {d} x,$

trouvée ci-dessus, se réduit à

$-2k\operatorname {d} t={\frac {x\operatorname {d} x}{a}}+{\frac {a\operatorname {d} x}{a}},$

dont l’intégrale est

$F-2kt={\frac {a}{2}}\left\{\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\operatorname {Log} .\left({\frac {a}{x}}\right)^{2}\right\}\,;$

en observant encore ici que $x=a$ et $t=0$ doivent se correspondre, on aura

$F={\frac {a}{2}}$

d’où en retranchant

${\frac {4kt}{a}}=\operatorname {Log} .\left({\frac {a}{x}}\right)^{2}+\left\{\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-1\right\}.$

En écrivant l’équation (25) comme il suit

$y+{\frac {(k-h)a}{4k}}={\frac {(k-h)a}{4k}}\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+{\frac {(k+h)a}{4k}}\operatorname {Log} .\left({\frac {a}{x}}\right)^{2}\,;$

on voit que si, ayant transporté l’origine sur l’axe des $y,$ à une distance ${\frac {(k-h)a}{4k}}$ au dessous de sa position primitive, on fait

$y'={\frac {(k-h)a}{4k}}\left({\frac {x}{a}}\right)^{2},\qquad y''={\frac {(k+h)a}{4k}}\operatorname {Log} .\left({\frac {a}{x}}\right)^{2}\,;\qquad$(27)

on aura

$y=y'+y''\,;$