THÈORÈME. Si deux quadrilatères sont l’un inscrit et l’autre circonscrit à une même section conique, de telle sorte que les sommets de l’inscrit soient les points de contact du circonscrit, 1.o Les diagonales des deux quadrilatères se couperont toutes quatre au même point ; 2.o Les points de concours des directions des côtés opposés des deux quadrilatères appartiendront tous quatre à une même ligne droite ; 3.o Le point de concours des quatre diagonales sera le pôle de la droite qui contiendra les quatre points de concours des directions des côtés opposés.
Remarques. I. Si l’on se rappelle que, dans tout quadrilatère, on peut prendre deux côtés opposés pour diagonales, et réciproquement, on s’assurera aisément que ce théorème est tout aussi complet qua le lemme d’où nous l’avons déduit.
II. En vertu d’un théorème de Newton démontré par M. Poncelet (Annales, tom. XII, pag. 109), on peut ajouter à tout ceci que la droite qui joint les milieux des deux diagonales du quadrilatère circonscrit contient le centre de la section conique dont il s’agit.
On reconnaît facilement, dans le théorème auquel nous venons de parvenir, le théorème de M. Brianchon, si fécond en belles conséquences, et dont ce qui précède offre ainsi une nouvelle démonstration. Passons présentement à celui qui fait le sujet principal de cet article.
THÉORÈME. Une surface du second ordre étant coupée arbitrairement par les deux faces d’un angle dièdre, 1.o en considérant les intersections des deux faces de l’angle dièdre avec la surface du second ordre comme les lignes de contact de deux surfaces coniques circonscrites, ces surfaces coniques se couperont suivant deux courbes planes dont les plans contiendront, l’un et l’autre, l’arête de l’angle dièdre qui en sera ainsi l’intersection ; 2.o si l’on considère les deux lignes de contact comme les directrices du mouvement d’un plan, dans la génération d’une surface développable, enveloppe de l’espace parcouru par ce plan, ce qui pourra être fait de deux manières différentes, les surfaces développables résultantes seront deux surfaces coniques, telles que le sommet
