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QUESTIONS

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

dont les trois diagonales sont $\mathrm {MN,DE,BC}$, donnent, par un théorème connu,

$\mathrm {{\frac {GM}{FM}}={\frac {GN}{FN}},\qquad {\frac {QM}{PM}}={\frac {QN}{PN}}} ,$

c’est-à-dire ;

$\mathrm {{\frac {FG-FM}{FM}}={\frac {FN-FG}{FN}},\qquad {\frac {PQ-PM}{PM}}={\frac {PN-PQ}{PN}}} \,;$

ou bien

$\mathrm {{\frac {FG}{FM}}-1=1-{\frac {FG}{FN}},\qquad {\frac {PQ}{PM}}-1=1-{\frac {PQ}{PN}}} \,;$

ou encore

$\mathrm {{\frac {FG}{FM}}+{\frac {FG}{FN}}=2,\qquad {\frac {PQ}{PM}}+{\frac {PQ}{PN}}=2} ,$

ce qui revient à

$\mathrm {FG(FM+FN)=2FM.FN,\qquad PQ(PM+PN)=2PM.PN} \,;$

mais

$\mathrm {FM=PM+FP,\qquad FN=PN+FP} ,$

$\mathrm {FM+FN=PM+PN+2FP}$

donc

$\mathrm {FM.FN=PM.PN+FP(PM+PN)+{\overline {FP}}^{2}} ,$

valeurs qui, substituées dans la première des deux équations ci-dessus, la changent en celle-ci :

$\mathrm {(PG-FP)(PM+PN)=2PM.PN-2FP.PG} \,;$

en la combinant avec la seconde, il vient

$\mathrm {PM+PN=2.{\frac {PF.PG}{PF-QG}},\qquad PM.PN=2.{\frac {PQ.PF.PG}{PF-QG}}} \,;$