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RÉSOLUES.

Démonstrations diverses du théorème de géométrie
énoncé à la page 212 du présent volume.

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THÉORÈME. Deux hyperboles équilatères telles que les diamètres principaux de chacune sont les asymptotes de l’autre se coupent toujours à angles droits.

Démonstration de M. W. H. T.

C’est un théorème connu, et d’ailleurs très-facile à démontrer que, dans l’hyperbole équilatère, rapportée à son centre et à ses diamètres principaux, la normale est constamment égale au rayon vecteur.

Cela posé ; soit $\mathrm {C}$ (fig. 2) le centre commun de deux hyperboles équilatères dont les asymptotes soient dirigées suivant $\mathrm {CN}$ et $\mathrm {CN',}$ et suivant leurs perpendiculaires respectives au point $\mathrm {C} \,;$ et soit $\mathrm {P}$ un point commun aux deux courbes. Soient menées les normales $\mathrm {PN}$ et $\mathrm {PN',}$ ainsi que le rayon vecteur $\mathrm {CP,}$ prolongé jusqu’en $\mathrm {V.}$

Les deux triangles $\mathrm {CPN}$ et $\mathrm {CPN'}$ étant isocèles, d’après ce qui vient d’être dit plus haut, il s’ensuit que les angles extérieurs $\mathrm {VPN}$ et $\mathrm {VPN'}$ sont respectivement doubles des intérieurs $\mathrm {PCN}$ et $\mathrm {PCN'} \,;$ d’où il suit que l’angle total $\mathrm {NPN'}$ est double de l’angle total $\mathrm {NCN'}$  ; c’est-à-dire que l’angle sous lequel se coupent deux hyperboles équilatères de même centre est constamment double de celui sous lequel se coupent leurs asymptotes ou leurs accès transverses ; d’où il suit que, si ce dernier est demi-droit, les deux