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INTÉGRALES

équation que nous appellerons à l’avenir équation aux limites ; et qui, comme l’on voit, ne renferme plus, outre les valeurs encore indéterminées de $X',X'',X''',\ldots ,Y',Y'',Y''',\ldots$ aux deux limites de l’intégrale, que les deux limites $c_{0},c_{1}$ et les constantes introduites par l’intégration des équations (XV).

33. Cela posé, si aucune condition particulière n’a été prescrite relativement aux limites, les fonctions

$X_{0},X_{0}',X_{0}'',\ldots ,Y_{0},Y_{0}',Y_{0}'',\ldots$

$X_{1},X_{1}',X_{1}'',\ldots ,Y_{1},Y_{1}',Y_{1}'',\ldots$

devront conserver l’indépendance la plus entière. L’équation (XIX) ne pourra donc alors subsister qu’autant que les coefficiens de ces diverses fonctions seront séparément nuls ; cette équation (XIX) se partagera donc dans les suivantes :

${\begin{aligned}0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'}}\right)_{0}-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)_{0}'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)_{0}''-\ldots ,0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)_{0}-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)_{0}'+\ldots ,&\\\\0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)_{0}-\ldots ,&\\\\0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)_{0}-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)_{0}'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{0}''-\ldots ,0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)_{0}-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{0}'+\ldots ,&\\\\0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{0}-\ldots ,&\\\\0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'}}\right)_{1}-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)_{1}'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)_{1}''-\ldots ,0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)_{1}-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)_{1}'+\ldots ,&\\\\0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)_{1}-\ldots ,&\\\\0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)_{1}-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)_{1}'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{1}''-\ldots ,0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)_{1}-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{1}'+\ldots ,&\\\\0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{1}-\ldots ,&\\\\\end{aligned}}$

lesquelles seront, en général, en même nombre que les constantes introduites, et serviront à en assigner les valeurs.

34. Mais si, au contraire, on exige qu’à l’une ou à l’autre limites, ou à toutes les deux, il existe, entre $x$ et $y$ et leurs divers coefficiens différentiels, une ou plusieurs relations données ; $X$ et $Y,$ toujours indéterminés, ne seront plus dès-lors tout-à--