Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1822-1823, Tome 13.djvu/379

367

DES SUITES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

le signe supérieur ou le signe inférieur devant être pris suivant que $n$ est de la forme $4i+1$ ou $4i+3,$ et la série devant être poussée à autant de termes qu’on pourra le faire sans que le nombre des arcs $t,u,v,\ldots ,$ dont le double de la somme se trouve retranché à $s,$ excède la moitié du nombre $n.$

7. Si présentement nous supposons tous les arcs $t,u,v,\ldots$ égaux entre eux et au premier, ce qui donnera $s=nt,$ nous déduirons, comme corollaires de ces trois lemmes, les formules connues que voici :

Corollaire I.

On a, quel que soit le nombre entier positif $n,$

$2^{n-1}.\operatorname {Cos} .^{n}t=\operatorname {Cos} .nt+{\frac {n}{1}}\operatorname {Cos} .(n-2)t+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}\operatorname {Cos} .(n-4)t$

$+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}\operatorname {Cos} .(n-6)t+\ldots$

série qu’il faudra pousser aussi loin qu’on pourra le faire, sans admettre d’arcs négatifs, et où il ne faudra prendre seulement que la moitié du dernier terme, si $n$ est un nombre pair.

Corollaire II.

Lorsque $n$ est un nombre pair, on a

$\pm 2^{n-1}.\operatorname {Sin} .^{n}t=\operatorname {Cos} .nt-{\frac {n}{1}}\operatorname {Cos} .(n-2)t+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}\operatorname {Cos} .(n-4)t$

$-{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}\operatorname {Cos} .(n-6)t+\ldots$

le signe supérieur ou le signe inférieur devant être pris, suivant que $n$ sera de la forme $4i$ ou de la forme $4i+2,$ et la série