On pourra avoir plusieurs couples de semblables équations, tant pour l’une que pour l’autre limites ; et on se servira de (XXII) et de ses analogues pour éliminer de (XIX) le plus grand nombre possible des fonctions après quoi on égalera séparément à zéro les coefficiens de celles qui, n’auront pas disparu. À la vérité, le nombre des équations qui devaient servir à déterminer les constantes se trouvera ainsi réduit ; mais toutes les équations qu’on aura de moins se trouveront exactement remplacées par l’équation (XXII) et ses analogues ; de sorte que ces constantes se trouveront toujours déterminées, et le seront seulement par d’autres conditions.
35. Au surplus, au lieu d’éliminer de l’équation (XIX) le plus grand nombre possible des fonctions au moyen des équations de condition telles que (XXIII), il reviendra au même, et il sera peut-être plus élégant de prendre la somme tant de l’équation (XIX) que des produits de ces équations de condition par des multiplicateurs indéterminés ; d’égaler ensuite séparément à zéro, dans l’équation somme, les coefficiens de toutes les fonctions et d’éliminer, enfin, les multiplicateurs indéterminés entre les équations résultantes.
36. Appliquons présentement ces divers procédés à un exemple.
PROBLÈME III. Quelle est la plus courte ligne entre deux plans parallèles donnés ?
Solution. Soient pris l’axe des perpendiculaire et le plan des parallèles aux deux plans donnés, dont nous supposerons les équations
les axes des et des étant supposés rectangulaires, mais dirigés d’ailleurs comme on le voudra, la question se trouvera ainsi réduite à assigner pour et des valeurs, fonctions de qui rendent
