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DES SUITES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

et par le Corollaire III, pour $n$ impair,

${\frac {a\operatorname {Sin} .^{n}t}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .^{n}2t}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .^{n}3t}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Sin} .^{n}4t}{1.2.3.4}}+\ldots$

$=\pm {\frac {1}{2^{n-1}}}\left\{e^{a\operatorname {Cos} .nt}.\operatorname {Sin} .[a\operatorname {Sin} .nt]-{\frac {n}{1}}e^{a\operatorname {Cos} .(n-2)t}.\operatorname {Sin} .\left[a\operatorname {Sin} .(n-2)t\right]\right.$

$\left.+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}e^{a\operatorname {Cos} .(n-4)t}.\operatorname {Sin} .\left[a\operatorname {Sin} .(n-4)t\right]+\ldots \right\}\,;$

14. Si, par exemple, on suppose $n=2,$ les première, deuxième, quatrième et cinquième formules deviendront, en ayant toujours égard aux limitations prescrites pour les seconds membres,

1.^o  $1+{\frac {a\operatorname {Cos} .t\operatorname {Cos} .u}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2t\operatorname {Cos} .2u}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3t\operatorname {Cos} .3u}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .4t\operatorname {Cos} .4u}{1.2.3.4}}+\ldots$

$=+{\tfrac {1}{2}}\left\{e^{a\operatorname {Cos} .(t+u)}.\operatorname {Cos} .\left[a\operatorname {Sin} .(t+u)\right]+e^{a\operatorname {Cos} .(t-u)}.\operatorname {Cos} .\left[a\operatorname {Sin} .(t-u)\right]\right\}.$

2.^o  ${\frac {a\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .u}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .2t\operatorname {Sin} .2u}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .3t\operatorname {Sin} .3u}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Sin} .4t\operatorname {Sin} .4u}{1.2.3.4}}+\ldots$

$=-{\tfrac {1}{2}}\left\{e^{a\operatorname {Cos} .(t+u)}.\operatorname {Cos} .\left[a\operatorname {Sin} .(t+u)\right]-e^{a\operatorname {Cos} .(t-u)}.\operatorname {Cos} .\left[a\operatorname {Sin} .(t-u)\right]\right\}.$

3.^o  $1+{\frac {a\operatorname {Cos} .^{2}t}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}2t}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .^{2}3t}{1.2.3}}+\ldots =+{\frac {1}{2}}\left\{e^{a\operatorname {Cos} .2t}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .2t)+e^{a}\right\}.$

4.^o  ${\frac {a\operatorname {Sin} .^{2}t}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}2t}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .^{2}3t}{1.2.3}}+\ldots =-{\frac {1}{2}}\left\{e^{a\operatorname {Cos} .2t}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .2t)-e^{a}\right\}.$

Ces deux dernières formules avaient déjà été données par M. Stein, à la page 112 du présent volume.

15. Si l’on suppose $n=3,$ les première, troisième, quatrième et sixième formules deviendront