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INTÉGRALES

afin donc que $\iint V\operatorname {d} x\operatorname {d} y$ soit maximum ou minimum, il faudra, suivant les principes connus, que le multiplicateur de $i$ soit nul ; et alors le maximum ou le minimum aura lieu, suivant que le multiplicateur de $i$. sera constamment négatif ou constamment positif. La condition commune au maximum et au minimum sera donc exprimée par l’équation

$\iint \left\{{\begin{array}{r}KZ+L{\frac {\operatorname {d} Z}{\operatorname {d} x}}+N\ \ {\frac {\operatorname {d} ^{2}Z}{\operatorname {d} x^{2}}}+Q\quad {\frac {\operatorname {d} ^{3}Z}{\operatorname {d} x^{3}}}+\ldots \\\\+M{\frac {\operatorname {d} Z}{\operatorname {d} y}}+O{\frac {\operatorname {d} ^{2}Z}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}+R{\frac {\operatorname {d} ^{3}Z}{\operatorname {d} x^{2}\operatorname {d} y}}+\ldots \\\\+P\ \ \ {\frac {\operatorname {d} ^{2}Z}{\operatorname {d} y^{2}}}+S{\frac {\operatorname {d} ^{3}Z}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y^{2}}}+\ldots \\\\+T\quad {\frac {\operatorname {d} ^{3}Z}{\operatorname {d} y^{3}}}+\ldots \\\\+\ldots \end{array}}\right\}\operatorname {d} x\operatorname {d} y=0$

ou plus simplement, en différentiant,

$\left.{\begin{array}{r}0=KZ+L{\frac {\operatorname {d} Z}{\operatorname {d} x}}+N\ \ {\frac {\operatorname {d} ^{2}Z}{\operatorname {d} x^{2}}}+Q\quad {\frac {\operatorname {d} ^{3}Z}{\operatorname {d} x^{3}}}+\ldots \\\\+M{\frac {\operatorname {d} Z}{\operatorname {d} y}}+O{\frac {\operatorname {d} ^{2}Z}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}+R{\frac {\operatorname {d} ^{3}Z}{\operatorname {d} x^{2}\operatorname {d} y}}+\ldots \\\\+P\ \ \ {\frac {\operatorname {d} ^{2}Z}{\operatorname {d} y^{2}}}+S{\frac {\operatorname {d} ^{3}Z}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y^{2}}}+\ldots \\\\+T\quad {\frac {\operatorname {d} ^{3}Z}{\operatorname {d} y^{3}}}+\ldots \\\\+\ldots \end{array}}\right\}\quad$(XXV)

45. Cela posé, en ayant successivement égard à la variabilité de $x$ et à celle de $y,$ la formule $u\operatorname {d} v=\operatorname {d} (uv)-v\operatorname {d} u$ donne