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INDÉTERMINÉES.

$+{\frac {\operatorname {d} ^{2}.}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}\left\{{\begin{aligned}\left\{{\begin{array}{r}O-{\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}}+\ldots \\\\-{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}+\ldots \\\\+\ldots \\\\\end{array}}\right\}Z+\left\{{\begin{array}{r}+R-\ldots \\\\-\ldots \\\\\end{array}}\right\}{\frac {\operatorname {d} Z}{\operatorname {d} x}}+\left\{{\begin{array}{r}S-\ldots \\\\-\ldots \end{array}}\right\}{\frac {\operatorname {d} Z}{\operatorname {d} y}}+\ldots \end{aligned}}\right\}.(\mathrm {XXVI} )$

46. L’équation étant mise sous cette forme, on voit qu’une partie de son second membre est une dérivée exacte par rapport à $x,$ tout-à-fait déterminée quel que soit $Z,$ tandis qu’au contraire, si l’on voulait considérer l’autre partie de ce second membre comme une dérivée par rapport à $x,$ cette dérivée changerait de forme avec $Z\,;$ d’où il suit que cette équation ne peut subsister qu’autant que la partie de son second membre qui est une dérivée exacte par rapport à $x$ et celle qui ne l’est pas seront séparément nulles. Égalant donc d’abord cette dernière partie à zéro, il viendra

$0=\left\{{\begin{array}{r}K-{\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}+\ \ {\frac {\operatorname {d} ^{2}N}{\operatorname {d} x^{2}}}-\quad {\frac {\operatorname {d} ^{3}Q}{\operatorname {d} x^{3}}}+\ldots \\\\-{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}O}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}-{\frac {\operatorname {d} ^{3}R}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y^{2}}}+\ldots \\\\+\ \ \ {\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} y^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y^{2}}}+\ldots \\\\-\quad {\frac {\operatorname {d} ^{3}T}{\operatorname {d} y^{3}}}+\ldots \\\\+\ldots \end{array}}\right\}Z$