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INDÉTERMINÉES.

rectilignes parallèles à l’axe des $z,$ et il en serait encore de même si la limite donnée était un polygone plan ou gauche.

51. Mais si l’on demandait la surface de moindre étendue entre toutes celles qui se terminant à d’autres surfaces données, nos méthodes actuelles ne seraient plus applicables, attendu qu’elles supposent essentiellement que $x$ et $y$ ont aux limites des valeurs ou une relation indépendantes de la valeur de $z.$ Nous dirons bientôt comment on pourrait éluder cette difficulté.

52. Soient $P,Q,R,\ldots$ des fonctions données de $x,y,z,$$l,m,n,\ldots$ et $a,b,c,\ldots$ des constantes données. Si l’on demande, entre toutes les valeurs de $z$ fonction de $x$ et $y$ qui, entre des limites données, rendent

$\iint P\operatorname {d} x\operatorname {d} y=a,\quad \iint Q\operatorname {d} x\operatorname {d} y=b,\quad \iint R\operatorname {d} x\operatorname {d} y=c,\ldots$(XXXIII)

quelle est celle qui, entre les mêmes limites, rend maximum ou minimum l’intégrale

$\iint U\operatorname {d} x\operatorname {d} y,$

où $U$ est aussi une fonction donnée de $x,y,z,l,m,n,\ldots \,;$ en raisonnant comme nous l’avons déjà fait (14, 15 et 37), on verra qu’en posant

$V=U+AP+BQ+CR+a\ldots ,$

tout se réduit à rendre $\iint V\operatorname {d} x\operatorname {d} y$ maximum ou minimum, entre les mêmes limites, sauf ensuite à déterminer les constantes $A,B,C,\ldots$ à l’aide des conditions (XXXIII}. Voici un exemple d’un problème de ce genre.

53. PROBLÈME VI. Entre toutes les surfaces qui retranchent d’un prisme ou d’un cylindre droit à base quelconque et d’une