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INDÉTERMINÉES.

${\begin{alignedat}{2}{\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}=&{\frac {\left(1+m^{2}\right)n-lmo}{(1+l^{2}+m^{2})^{\frac {3}{2}}}},\qquad &{\frac {\operatorname {d} ^{2}N}{\operatorname {d} x^{2}}}=&0,\ldots ,\\\\{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}=&{\frac {\left(1+l^{2}\right)p-lmo}{(1+l^{2}+m^{2})^{\frac {3}{2}}}},&{\frac {\operatorname {d} ^{2}O}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}=&0,\ldots ,\\\\&&{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} y^{2}}}=&0,\ldots ,\\\\&&&\ldots ,\end{alignedat}}$

En conséquence, l’équation (XXIX) deviendra

$\left(1+m^{2}\right)n-2lmo+(1+l^{2})p=A\left(1+l^{2}+m^{2}\right)^{\frac {3}{2}}\,;$

équation qu’on doit encore moins espérer d’intégrer d’une manière commode pour les applications que celle que nous avons obtenue ci-dessus. On s’assurera facilement qu’elle comprend comme cas particuliers la sphère ainsi que le cylindre et le cône de révolution.

54. Quelque étendus que puissent paraître les développemens que nous venons de donner, dans ce paragraphe et dans les deux précédons, ces développemens ne doivent néanmoins être considérés, que comme une introduction à la véritable méthode qui va présentement nous occuper, et que comme un moyen d’en bien faire saisir l’esprit et de bien faire comprendre la nécessité des considérations qui lui servent de base.

55. On a vu que le problème de la plus courte distance entre deux courbes planes tracées sur un même plan, qui avait résisté aux méthodes du §. I, a cédé sans efforts à celles du §. II ; et cela parce qu’ici, au lieu de considérer $x$ et $y$ comme fonction l’une de l’autre, nous les avions considérées toutes deux comme fonctions d’une troisième variable $z\,;$ mais, dans ce même §. II, nous avons éprouvé un embarras pareil à celui que nous avons rencontré dans le §. I, du moment que nous avons voulu traiter