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INTÉGRALES

Si aucune condition particulière n’a été imposée entre les limites de l’intégrale, les fonctions $X,Y,Z$ devront, entre ces limites, conserver toute leur indépendance ; ce qui décomposera cette équation en ces trois-ci :

$\left.{\begin{aligned}&0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}\right)-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'}}\right)'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)''-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)'''+\ldots ,\\\\&0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}\right)-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)''-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)'''+\ldots ,\\\\&0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z}}\right)-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z'}}\right)'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z''}}\right)''-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z'''}}\right)'''+\ldots ,\end{aligned}}\right\},\quad (15)$

desquelles on déduirait, par l’intégration, les valeurs générales de $x,y,z$ en $t,$ et constantes arbitraires, si $x,y,z$ étaient réellement des fonctions déterminées de cette dernière variable ; mais, comme ce n’est que par une sorte de fiction qu’elles sont considérées comme telles, il arrivera, si toutefois le problème est possible, que chacune de ces trois équations se trouvera comportée par les deux autres ; que par conséquent elles n’équivaudront réellement qu’à deux, lesquelles ne seront autres que celles qu’on obtiendrait si, ayant deux équations de relation entre $x,y,z,$ on les différenciait une ou plusieurs fois, en y considérant ces trois variables comme des fonctions de $t\,;$ de sorte qu’en posant dans ces équations $t=z$ d’où $z'=1,\ z''=0,\ z'''=0,\ldots$ on aura, sous forme différentielle, les relations cherchées de $x$ et $y$ à $z.$

72. Mais il pourrait se faire qu’au lieu de demander les valeurs de $x$ et $y$ en $z$ qui rendent $\int U\operatorname {d} z$ ou $\int V\operatorname {d} t$ maximum ou minimum absolu, on demandât de ne rendre cette intégrale telle que par des valeurs satisfaisant à une équation de relation donnée ; dès-lors $X,Y,Z,$ toujours arbitraires, ne seraient plus absolument indépendans. En représentant, en effet, par $S=0$ l’équation de relation donnée, on devrait avoir