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INTÉGRALES

${\begin{array}{l}&{\frac {x''\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)-x'(x'x''+y'y''+z'z'')}{\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}\right)}}\\\\=&{\frac {y''\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)-y'(x'x''+y'y''+z'z'')}{\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}\right)}}\\\\=&{\frac {z''\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)-z'(x'x''+y'y''+z'z'')}{\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}\right)}}.\end{array}}$

Telles seront donc alors les deux équations différentielles de la ligne cherchée ; et il est aisé de se convaincre, comme nous l’avons annoncé (72), que, eu égard à l’équation $S=0,$ elles n’équivalent qu’à une seule ou, ce qui revient au même, qu’elles comportent cette équation. Si, en effet, on différentie l’équation $S=0,$ en y considérant $x,y,z$ comme des fonctions de $t,$ il viendra

$\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}\right)x'+\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}\right)y'+\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}\right)z'=0\,:$

or, si l’on substitue dans cette dernière équation les valeurs de $\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}\right),\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}\right)$ tirées des deux premières, et qu’on supprime ensuite le facteur $\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}\right)$ commun à tous les termes de l’équation résultante, cette équation sera tout-à-fait identique.

La double équation de la courbe cherchée donne, en réduisant,

$\left\{\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}\right)x'+\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}\right)z'\right\}(z'x''-x'z'')-\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}\right)y'(y'z''-z'y'')$

$=\left({\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}\right)y(x'y''-y'x''),$