points au point par les forces qui passent par ces mêmes points, soit un maximum ou un minimum, le point sera en équilibre.
Mais la réciproque de cette proposition n’est pas généralement vraie.
Ce théorème, qui n’est qu’un cas particulier de celui qui se trouve déduit du principe des vitesses virtuelles dans la Mécanique analitique (2.e édition, tom. I, pag. 67), pourrait être facilement démontré dans les traités élémentaires de statique.
Ce théorème admis, soient (fig. 4) trois points donnés hors d’un plan et le point de ce plan dont la somme des distances aux points soit un minimum. Si l’on conçoit le point poussé contre le plan par trois forces égales quelconques, représentées en intensité et en direction par en vertu du théorème énoncé, ce point devra demeurer en équilibre ; il faudra donc que la direction de la résultante des trois forces soit perpendiculaire au plan et cette résultante devra aussi être la même que celle de et de la résultante de et et, comme la résultante de deux forces est dans leur plan, il faudra que la perpendiculaire soit dans le plan de et mais cette dernière droite divise l’angle en deux parties égales ; donc, en effet, le plan qui passe par l’une quelconque de nos trois droites et par la perpendiculaire divise en deux parties égales l’angle formé par les deux autres.
Le théorème qui vient d’être démontré donne trois conditions pour déterminer le point du plan lorsque les trois points sont donnés ; or, comme deux d’entre elles suffisent pour déterminer ce point, il s’ensuit que chacune d’elles doit être comportée par les deux autres ; c’est-à-dire que les plans conduits par chacune des droites et par la droite qui divise l’angle des deux autres en deux parties égales, se coupent tous trois suivant une même droite, et c’est ce qu’il est facile d’ailleurs de démontrer directement pour les trois arêtes d’un angle trièdre quelconque.
Soit, en effet, (fig. 5) un angle trièdre quelconque, et soient menées les droites qui divisent ses angles en
