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$\mathrm {MB',MC'} ,$ au lieu d’être égales, soient proportionnelles aux coefficiens $a,b,c,$ et que le plan $\mathrm {XZ}$ soit le plan tangent en $\mathrm {M}$ à la surface dont il s’agit, il faudra encore ici, comme alors, que le plan conduit par la direction $\mathrm {MC}$ de l’une quelconque des forces et par la normale $\mathrm {MN}$ contienne la résultante $\mathrm {MD'}$ des deux autres et divise conséquemment l’angle $\mathrm {AMB}$ de celle-ci en deux autres $\mathrm {D'MA}$ et $\mathrm {D'MB}$ dont les sinus soient en raison inverse de $\mathrm {MA'}$ et $\mathrm {MB'} ,$ et conséquemment en raison inverse des coefficiens $a$ et $b.$

Le même principe de statique donnera toujours les conditions que doit remplir un point $\mathrm {M} ,$ libre dans l’espace ou situé sur une surface ou une ligne donnée, pour que la somme, soit de ses distances à des points donnés, soit des produits respectifs de ces distances par des multiplicateurs donnés, soit un minimum.

On en déduit encore cet autre théorème :

THÉORÈME. Soient $\mathrm {A,B,C,D}$ quatre points donnés hors d’une surface et $\mathrm {M}$ un point tellement situé sur cette surface que la somme des produits $\mathrm {a.MA+b.MB+c.MC+d.MD}$ soit un minimum. Si l’on mène un plan qui divise les angles $\mathrm {AMB,CMD}$ en deux parties dont les sinus soient, pour le premier, en raison inverse de $\mathrm {a}$ et $\mathrm {b} ,$ et pour le second, en raison inverse de $\mathrm {c}$ et $\mathrm {d} ,$ ce plan contiendra la normale à la surface au point $\mathrm {M} \,;$ de sorte que, si l’on mène un second plan qui divise les angles $\mathrm {AMC,BMD}$ en deux parties, dont les sinus soient, pour le premier, en raison inverse de $\mathrm {a}$ et $\mathrm {c} ,$ et pour le second, en raison inverse de $\mathrm {b}$ et $\mathrm {d} ,$ puis un troisième plan qui divise les angles $\mathrm {AMD,BMC}$ en deux parties, dont les sinus soient, pour le premier, en raison inverse de $\mathrm {a}$ et $\mathrm {d} ,$ et pour le second, en raison inverse de $\mathrm {b}$ et $\mathrm {c} ,$ ces trois plans se couperont suivant cette même normale^[1].

Genève, le 15 d’avril 1823.

1. Nous rappellerons encore ici que, quelque jour que puisse jeter ce qu’on vient de lire sur la question proposée à la page 380 du XII.^e volume du présent recueil, cette question n’en reste pas moins à résoudre.
   J. D. G.