Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/202

éliminant donc $\theta$ entre ces deux équations, nous obtiendrons pour l’équation de la courbe cherchée

$x=\alpha r\operatorname {Cos} .{\frac {y}{r}}\quad$ou$\quad y=r\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {x}{\alpha r}}\right).\qquad$(1)

Si l’on désigne respectivement par $a$ et $b$ les deux demi-diamètres principaux de la courbe, on aura, par ce qui précède,

$a=\alpha r,b={\frac {\pi r}{2}}\,;$

d’où

$r={\frac {2b}{\pi }},\qquad \alpha ={\frac {\pi a}{2b}}.$

Ainsi, les deux demi-diamètres principaux étant donnés, on pourra, toujours savoir quels sont le rayon de la sphère et l’angle du fuseau qui leur répondent. En introduisant ces valeurs dans l’équation de la courbe, elle deviendra

$x=a\operatorname {Cos} .{\frac {\pi y}{2b}}\quad$ou$\quad y={\frac {2b}{\pi }}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {x}{a}}\right).\qquad$(2)

En diffsentiant cette équation, on en tire

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=-{\frac {2b}{\varpi a\operatorname {Sin} .{\frac {\pi y}{2b}}}}=-{\frac {1}{\alpha \operatorname {Sin} .{\frac {y}{r}}}}.\qquad$(3)

On voit, par cette expression, que la tangente à l’extrémité de l’axe des $x$ sera perpendiculaire à cet axe ; qu’elle s’inclinera de plus en plus sur cet axe en marchant vers l’extrémité de l’axe des $y,$ où son inclinaison sera la plus grande ; mais qu’en ce point même elle ne sera pas parallèle à l’axe des $x,$ et qu’il s’en faudra d’autant plus que $\alpha$ sera plus petit. La courbe aura donc deux branches qui se couperont en ce point qui sera conséquemment un point double au-delà duquel elle se prolongera, en serpentant de part et d’autre autour de l’axe des $y.$

Dans le cas particulier où l’on aura $\alpha =\varpi ,$ ce qui est proprement le cas de la question proposée, on aura en ce point