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et l’équation de la courbe cherchée sera le résultat de l’élimination de $p$ entre les équations (4) et (5).

En considérant $x$ et $y$ comme inconnus, dans ces deux équations, elles donnent

$x=-abp.{\frac {\left(a^{2}+b^{2}p^{2}\right)+\left(a^{2}-b^{2}\right)}{\left(a^{2}+b^{2}p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},\quad y=+ab.{\frac {\left(a^{2}+b^{2}p^{2}\right)+\left(a^{2}-b^{2}\right)p^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$

posant alors, pour abréger

$a^{2}+b^{2}p^{2}=z,\qquad a^{2}-b^{2}=c^{2},$

d’où

$p={\frac {\pm {\sqrt {z-a^{2}}}}{b}},\qquad$(6)

il viendra, en substituant dans les valeurs de $x$ et $y$ et en quarrant,

$x^{2}={\frac {a^{2}\left(z+c^{2}\right)^{2}\left(z-a^{2}\right)}{z^{3}}},\quad y^{2}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}.{\frac {\left\{\left(b^{2}-c^{2}\right)z+a^{2}c^{2}\right\}^{2}}{z^{3}}}\,;\quad$(7)

et la recherche de l’équation de la courbe se trouvera réduite à l’élimination de $z$ entre ces deux-ci.

Si l’on ne veut que construire la courbe par points, cette élimination, qui conduirait à une équation du sixième degré assez compliquée, ne sera point nécessaire. Que l’on construise, en effet, séparément les courbes exprimées par les équations (7), en prenant dans l’une et dans l’autre les $z$ pour les abscisses ; si l’on construit ensuite une troisième courbe dont les coordonnées soient les ordonnées correspondantes de ces deux-là ; cette troisième courbe sera la courbe cherchée ; et la valeur (6) de $p,$ répondant aux mêmes abscisses, indiquera la direction de la tangente en chaque point.

Ceci revient encore à considérer les équations (7) comme celles des projections d’une courbe à double courbure sur les plans des $xz$ et des $yz,$ à tracer ces projections, et à en déduire la projection