Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/228

${\begin{aligned}\mathrm {MA} _{lm}Sin.(\mathrm {A,LM} )&=\mathrm {MA} _{mn}Sin.(\mathrm {A,MN} ),\\\\\mathrm {NA} _{mn}Sin.(\mathrm {A,MN} )&=\mathrm {NA} \quad Sin.(\mathrm {A,NA} ).\end{aligned}}$

lesquelles, étant multipliées membre à membre, donneront, par la suppression des facteurs communs aux deux membres de l’équation résultante, en remarquant d’ailleurs que

$Sin.(\mathrm {A,AB} )=Sin.\mathrm {PAB} ,\qquad Sin.(\mathrm {A,NA} )=Sin.\mathrm {PAN} ,$

$\mathrm {AB.CA} _{bc}\mathrm {DA} _{cd}\ldots \mathrm {LA} _{kl}\mathrm {MA} _{lm}\mathrm {NA} _{mn}Sin.\mathrm {PAB}$

$=\mathrm {NA.BA} _{bc}\mathrm {CA} _{cd}\mathrm {DA} _{de}\ldots \mathrm {LA} _{lm}\mathrm {MA} _{mn}Sin.\mathrm {PAN}$

Chacune des droites $\mathrm {A,B,C,\ldots L,M,N} ,$ devant fournir une équation analogue, on aura ces $n$ équations

$\left.{\begin{array}{l}\mathrm {AB.CA} _{bc}\mathrm {DA} _{cd}\ldots \mathrm {MA} _{lm}\mathrm {NA} _{mn}Sin.\mathrm {PAB} ,\\\qquad \qquad \qquad \qquad =\mathrm {NA.BA} _{bc}\mathrm {CA} _{cd}\ldots \mathrm {LA} _{lm}\mathrm {MA} _{mn}Sin.\mathrm {PAN} \\\mathrm {BC.DB} _{cd}\mathrm {EB} _{de}\ldots \mathrm {NB} _{mn}\mathrm {AB} _{na}Sin.\mathrm {PBC} ,\\\qquad \qquad \qquad \qquad =\mathrm {AB.CB} _{cd}\mathrm {DB} _{de}\ldots \mathrm {MB} _{mn}\mathrm {NB} _{na}Sin.\mathrm {PBA} \\\mathrm {CD.EC} _{de}\mathrm {FC} _{ef}\ldots \mathrm {AC} _{na}\mathrm {BC} _{ab}Sin.\mathrm {PCD} \\\qquad \qquad \qquad \qquad =\mathrm {BC.DC} _{de}\mathrm {EC} _{ef}\ldots \mathrm {NC} _{na}\mathrm {AC} _{ab}Sin.\mathrm {PCB} ,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\mathrm {LM.NL} _{mn}\mathrm {AL} _{na}\ldots \mathrm {IL} _{hi}\mathrm {KL} _{ik}Sin.\mathrm {PLM} \\\qquad \qquad \qquad \qquad =\mathrm {KL.ML} _{mn}\mathrm {NL} _{na}\ldots \mathrm {HL} _{hi}\mathrm {IL} _{ik}Sin.\mathrm {PLK} ,\\\mathrm {MN.AM} _{na}\mathrm {BM} _{ab}\ldots \mathrm {KM} _{ik}\mathrm {LM} _{kl}Sin.\mathrm {PMN} \\\qquad \qquad \qquad \qquad =\mathrm {LM.NM} _{na}\mathrm {AM} _{ab}\ldots \mathrm {IM} _{ik}\mathrm {KM} _{kl}Sin.\mathrm {PML} ,\\\mathrm {NA.BN} _{ab}\mathrm {CN} _{bc}\ldots \mathrm {LN} _{kl}\mathrm {MN} _{lm}Sin.\mathrm {PNA} \\\qquad \qquad \qquad \qquad =\mathrm {MN.AN} _{ab}\mathrm {BN} _{bc}\ldots \mathrm {KN} _{kl}\mathrm {LN} _{lm}Sin.\mathrm {PNM} ,\end{array}}\right\}(1)$

Considérons présentement le triangle $\mathrm {APB.}$ Ses deux côtés $\mathrm {PA}$ et $\mathrm {PB}$ étant proportionnels aux sinus des angles opposés, il s’ensuit qu’on doit avoir