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plus convenable de ne s’appuyer, pour parvenir au but, que sur des principes universellement connus. Passons présentement aux démonstrations analitiques de M. Sturm.

Pour le premier théorème, prenons la droite donnée pour axe des $z,$ l’origine étant d’ailleurs quelconque et les coordonnées étant rectangulaires.

Soient $a,a',a''$ les coordonnées du sommet $\mathrm {A} ,$

$b,b',b''$ les coordonnées du sommet $\mathrm {B} ,$

$c,c',c''$ les coordonnées du sommet $\mathrm {C} ,$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

$n,n',n''$ les coordonnées du sommet $\mathrm {N} .$

Soient en outre $\alpha ,\alpha ',\alpha ''$ les cosinus des angles que forme la direction du premier côté $\mathrm {AB}$ du polygone avec les trois axes ; ce côté, considéré comme droite indéfinie, pourra également être exprimé par les deux systèmes d’équations

$(1)\left\{{\begin{aligned}&x=a\ +\alpha \ \ p,\\&y=a'\,+\alpha '\,p,\\&z=a''+\alpha ''p,\end{aligned}}\right.\qquad (2)\left\{{\begin{aligned}&x=b\ +\alpha \ \ q,\\&y=b'\,+\alpha '\,q,\\&z=b''+\alpha ''q\,;\end{aligned}}\right.$

$p$ et $q$ représentant les distances respectives d’un point quelconque de cette droite aux deux points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B.}$

Le plan conduit par l’axe des $z$ et par le sommet $\mathrm {N}$ a pour équation

$n'x=ny.\qquad$(3)