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$\operatorname {d} 'x,\operatorname {d} 'y,\operatorname {d} 'z,$ données par les équations (17). Il ne sera guère possible d’en tirer les valeurs de $P,Q,R,$ du moins en général. Si cependant ces fonctions ne dépendaient que de $x,y,z,$ et qu’on eût

$A=\operatorname {F} (a,b,c),\qquad B=\operatorname {F} '(a,b,c),\qquad C=\operatorname {F} ''(a,b,c),$

en désignant par $\operatorname {F} ,\operatorname {F} ',\operatorname {F} ''$ des fonctions quelconques de $a,b,c,$ déterminées au moyen de l’état initial du fluide, on en tirerait

$P=\operatorname {F} (x,y,z),\qquad Q=\operatorname {F} '(x,y,z),\qquad R=\operatorname {F} ''(x,y,z).$

14. Lorsque $\psi ,$ ou, ce qui revient au même, $\operatorname {d} 'x\delta x+\operatorname {d} 'y\delta y+\operatorname {d} 'z\delta z,$ est une variation exacte, l’équation (13) fait voir qu’il doit en être de même de $H.$ On peut donc alors représenter cette fonction par $\delta K,\ K$ étant une fonction de $a,b,c,$ sans $t,$ convenablement déterminée. Dès-lors, en observant que $\operatorname {d} 'K=0,$ les équations (12) et (13) pourront se mettre sous la forme

$\nu -\int {\frac {\delta p}{\Delta }}=\operatorname {d} '(\phi +K)-{\frac {1}{2}}\left(\operatorname {d} 'x^{2}+\operatorname {d} 'y^{2}+\operatorname {d} 'z^{2}\right),$

$\operatorname {d} 'x\delta x+\operatorname {d} 'y\delta y+\operatorname {d} 'z\delta z=\delta (\phi +k),$

et par conséquent, en mettant $\phi ,$ au lieu de $\phi +k,$

$\nu -\int {\frac {\delta p}{\Delta }}=\operatorname {d} '\phi -{\frac {1}{2}}\left(\operatorname {d} 'x^{2}+\operatorname {d} 'y^{2}+\operatorname {d} 'z^{2}\right),$

$\operatorname {d} 'x\delta x+\operatorname {d} 'y\delta y+\operatorname {d} 'z\delta z=\delta \phi ,$

qui sont absolument les mêmes que si l’en avait fait $H=0.$ Nous aurons donc alors

$P=0,\quad Q=0,\quad R=0\,;$