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$\delta \nu -{\frac {\delta p}{\Delta }}={\frac {\operatorname {d} 'x}{\operatorname {d} t}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} 'y}{\operatorname {d} t}}\delta y+{\frac {\operatorname {d} 'z}{\operatorname {d} t}}\delta z={\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} t}}.$

C’est de cette dernière que les divers auteurs qui ont écrit sur l’hydrodynamique ont cru pouvoir conclure immédiatement que $\psi$ ou $\operatorname {d} 'x\delta x+\operatorname {d} 'y\delta y+\operatorname {d} 'z\delta z$ devait être une variation exacte ; conclusion dont nous avons déjà relevé l’inexactitude dans le n.^o 6. Nous allons encore le faire ici d’une autre manière.

Si l’on détermine $\phi$ au moyen de l’équation

$\nu -\int {\frac {\delta p}{\Delta }}={\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} t}},\qquad$(25)

ce qui est toujours possible, tout au moins par les quadratures, et ce qui donne

$\delta \nu -{\frac {\delta p}{\Delta }}=\delta {\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} t}},$

de laquelle on tirera

${\frac {\operatorname {dd} 'x}{\operatorname {d} t}}\delta x+{\frac {\operatorname {dd} 'y}{\operatorname {d} t}}\delta y+{\frac {\operatorname {dd} 'z}{\operatorname {d} t}}\delta z=\delta {\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} t}},$

et par suite

${\frac {\operatorname {dd} 'x}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} t\operatorname {d} x}},\quad {\frac {\operatorname {dd} 'y}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} t\operatorname {d} y}},\quad {\frac {\operatorname {dd} 'z}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} t\operatorname {d} z}}\,;$

et de là, en intégrant par rapport à $t$

$\operatorname {d} 'x={\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} x}}+P,\quad \operatorname {d} 'y={\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} y}}+Q,\quad \operatorname {d} 'z={\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} z}}+R.\qquad$(26)

chacune des quantités $P,Q,R,$ étant une fonction arbitraire de $x,y,z,$ sans $t.$ Ce cas rentre donc dans celui que nous avons déjà considéré dans le n.^o 13.