Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/261

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} x_{1}}{\operatorname {d} y}}-{\frac {\operatorname {d} y_{1}}{\operatorname {d} x}}=t\left({\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}-{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}\right),\\\\&{\frac {\operatorname {d} y_{1}}{\operatorname {d} z}}-{\frac {\operatorname {d} z_{1}}{\operatorname {d} y}}=t\left({\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} z}}-{\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} y}}\right),\\\\&{\frac {\operatorname {d} z_{1}}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} x_{1}}{\operatorname {d} z}}=t\left({\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} z}}\right).\end{aligned}}\right\}\quad (28)$

Nous n’ajoutons point de fonctions arbitraires de $x,y,z,$ parce que $x_{1},y_{1},z_{1},$ et par suite les premiers membres de ces équations, doivent être nuls en même temps que $t.$

Présentement, puisque $x_{1},y_{1},z_{1},$ doivent rester renfermés dans des limites très-resserrées, les premiers membres des équations (28) doivent jouir de la même propriété, ce qui ne pourra être qu’autant qu’on aura identiquement

${\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}-{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} z}}-{\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} y}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} R}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} z}}=0\,;$

qui sont précisément les équations nécessaires et suffisantes pour que

$P\delta x+Q\delta y+R\delta z,$

et par suite, en vertu de l’équation (27),

$\operatorname {d} 'x\delta x+\operatorname {d} 'y\delta y+\operatorname {d} 'z\delta z,$

soit une variation exacte, ce qui prouve ce que nous avons avancé au commencement du présent n.^o.

On voit même par là que, bien que les mouvemens soient très-petits, si la quantité

$\operatorname {d} 'x\delta x+\operatorname {d} 'y\delta y+\operatorname {d} 'z\delta z,$