En effet, en désignant toujours par l’un des points dont il s’agit et par et ses coordonnées, sur le plan du polygone dont il s’agit, l’aire du second polygone sera la somme algébrique des aires d’une suite de triangles ayant leur sommet commun en et dont les côtés adjacens à ce sommet sont les perpendiculaires dont il s’agit. Or, l’aire de chacun de ces triangles sera la moitié du produit des deux côtés qui partent de ce sommet commun, multiplié par le sinus de l’angle que comprennent entre eux ces mêmes côtés. Or, cet angle est indépendant de la situation du point par la nature même de la question ; et les côtés qui le comprennent sont des fonctions linéaires des coordonnées et du point l’expression de l’aire de chacun de ces triangles sera donc une fonction entière du second degré de et de il en sera donc de même de l’expression de l’aire du polygone somme des aires de ces triangles. Si donc on égale l’aire de ce polygone à une surface constante, l’équation résultante sera celle d’une ligne du second ordre, lieu de tous les points
Il est aisé de voir que les mêmes choses auraient lieu encore si, au lieu de perpendiculaires, on abaissait du point des obliques également inclinées dans le même sens sur les côtés du polygone donné.
