On devrait également y faire figurer les diverses propriétés des cercles, celles de leurs tangentes communes, de leurs contacts, des pôles et polaires, des centres et axes de similitude, des axes et centres radicaux, des polygones inscrits et circonscrits, et, en particulier, de ceux de ces polygones qui n’ont pas plus de six côtés.
Les problèmes les plus remarquables de la géométrie plane devraient aussi s’y trouver résolus. La détermination des triangles, des quadrilatères et des autres polygones, au moyen de certaines conditions, le problème du cercle tangent à trois autres, celui du triangle ou du polygone inscrit ou circonscrit dont les côtés passent par des points donnés ou dont les sommets sont sur des droites données, et tous les autres problèmes qui servent de cortège à ceux-là. J’en dirai autant des problèmes de maximums et de minimums, ainsi que de tant d’autres qui se trouvent épars dans les divers ouvrages publiés sur la géométrie, et en particulier dans les Annales, et qui devraient tous désormais faire partie des traités élémentaires de géométrie tels que je les conçois.
Mais, pour pouvoir remplir ce but, il faudrait étendre convenablement les moyens de la géométrie ordinaire, en employant tour à tour, suivant l’occasion, les divers procédés qui lui sont propres, tant ceux qui nous ont été transmis par les anciens que ceux que nous avons vu, pour ainsi dire, éclore sous nos yeux. Ainsi, bien loin de vouloir bannir de son domaine, comme le voudrait M. Gergonne, l’usage des proportions, instrument précieux par sa simplicité, et qu’il faudrait remplacer par tout autre équivalent, dans les questions où l’on se propose d’établir des relations métriques entre les diverses parties des figures, il faudrait, au contraire, y introduire la théorie des projections, celle des transversales et surtout celle des lignes appelées trigonométriques, envisagées uniquement comme établissant des rapports entre les lignes et les angles, et indépendamment de leur application à la résolution des triangles.
Il n’a été nullement question, dans ce qui précède, de la géométrie à trois dimensions, et c’est pourtant celle qui réclame
