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Solution. Soit rapportée la courbe du fil à trois axes rectangulaires passant par le centre d’attraction ou de répulsion, et soient $x,y,z$ les coordonnées de l’un quelconque des points de sa longueur ; soient $r$ la distance de ce point au même centre, $s$ la portion de la longueur de ce fil comptée depuis le même point jusqu’à la première de ces deux extrémités fixes.

Les équations connues de l’équilibre d’un fil parfaitement flexible et inextensible sont

$\left.{\begin{aligned}-T{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}=A+\int X\operatorname {d} s,\\\\-T{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}=B+\int Y\operatorname {d} s,\\\\-T{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}=C+\int Z\operatorname {d} s,\\\\\end{aligned}}\right\}\quad (1)$

dans lesquelles $T$ représente la tension au point ($x,y,z$) de la courbure du fil ; tension dirigée suivant la tangente à cette courbure en ce point ; et où $X,Y,Z$ sont les forces parallèles aux axes qui sollicitent ce même point, tandis que $A,B,C$ sont les composantes, parallèles aux mêmes axes, de la force par laquelle le premier des deux points extrêmes est retenu, et qui, lorsque ce point est fixe, exprime la pression qu’il supporte. Les intégrales qui entrent dans ces équations doivent toujours être prises depuis ce premier point jusqu’à celui que l’on considère, c’est-à-dire, le point $(x,y,z).$

En différentiant les équations (1), on trouve